Démonstrations géométriques
Cocher les thèmes à travailler (la loupe permet de consulter la liste des notions d'un thème) :
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Parallèles et perpendiculaires
Les démonstrations à effectuer sont basées sur deux propriétés importantes :
Propriété n°1
SI deux droites sont perpendiculaires à une même droite,
ALORS elles sont parallèles entre elles.
Propriété n°2
SI deux droites sont parallèles,
ALORS toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
———
On peut aussi citer deux autres propriétés, moins utilisées :
Propriété n°3
SI deux droites sont parallèles à une même droite,
ALORS elles sont parallèles entre elles.
Propriété n°4
SI deux droites parallèles ont un point commun,
ALORS elles sont confondues.
Les propriétés n°3 et 4 peuvent permettre de démontrer que plusieurs points sont alignés.
Pour cela on montre qu'ils appartiennent à des droites parallèles ayant un point commun.
Elles sont donc confondues (propriété n°3) et ainsi les points sont alignés (propriété n°4).
On peut aussi citer à ce sujet l'axiome d'Euclide qui dit :
"Il existe une unique droite passant par un point donné et parallèle à une droite donnée."
Sur le même principe, les propriétés n°1 et 4 peuvent permettre de démontrer que plusieurs points sont alignés.
Cela revient à utiliser une propriété qui dit :
"Il existe une unique droite passant par un point donné et perpendiculaire à une droite donnée."
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Symétrie axiale
Propriétés
Dans une symétrie axiale l'image d'une droite est une droite (quelconque).
Dans une symétrie axiale l'image d'un segment est un segment de même longueur.
Dans une symétrie axiale l'image d'un cercle est un cercle de même rayon.
Dans une symétrie axiale l'image d'un angle est un angle de même mesure.
Ces propriétés s'appellent les propriétés de conservation de la symétrie axiale.
On dit en effet qu'une symétrie axiale conserve les alignements, les longueurs, les angles, les aires...
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Médiatrice d'un segment
La définition et deux propriétés réciproques très importantes sont à savoir :
Définition
La médiatrice d'un segment est la droite qui le coupe en son milieu perpendiculairement.
Propriété n°1
SI un point appartient à la médiatrice d'un segment,
ALORS il est équidistant des extrémités de ce segment.
Propriété n°2
SI un point est équidistant des extrémités d'un segment,
ALORS il appartient à la médiatrice de ce segment.
L'expression "être équidistant" signifie "être à la même distance".
La définition et la propriété n°2 peuvent pemettre de démontrer qu'une droite est la médiatrice d'un segment.
La définition et la propriété n°1 donnent des informations sur une médiatrice d'un segment.
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Triangles particuliers
En Sixième on voit la définition du triangle rectangle.
On peut aussi apprendre que le côté opposé à l'angle droit s'appelle "l'hypoténuse" du triangle.
Définition
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.
En Sixième on voit la définition du triangle isocèle et deux propriétés réciproques.
La propriété n°2 peut permettre de démontrer qu'un triangle est isocèle ; au départ on ne sait pas s'il l'est, et on ne doit donc pas parler de "base" dans la première partie de la phrase.
Définition
Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur.
Propriété n°1
SI un triangle est isocèle,
ALORS ses angles à la base sont de même mesure.
Propriété n°2
SI un triangle a deux angles de même mesure,
ALORS il est isocèle.
En Sixième on voit la définition du triangle équilatéral et deux propriétés réciproques.
En Cinquième le travail sur les angles d'un triangle permettra ensuite d'en dire plus.
Définition
Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de même longueur.
Propriété n°1
SI un triangle est équilatéral,
ALORS ses trois angles sont de même mesure.
Propriété n°2
SI un triangle a ses trois angles de même mesure,
ALORS il est équilatéral.
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Rectangle - Losange - Carré
En Sixième on travaille le rectangle, losange et le carré.
On en donne les définitions et on peut aussi utiliser la symétrie axiale pour énoncer des propriétés.
Les propriétés réciproques (propriétés n°2) permettent de démontrer qu'un quadrilatère est particulier.
Définition
Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits (trois suffisent).
Propriété n°1
SI un quadrilatère est un rectangle,
ALORS ses diagonales ont le même milieu et sont de même longueur.
Propriété n°2
SI un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et de même longueur,
ALORS c'est un rectangle.
Définition
Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de la même longueur.
Propriété n°1
SI un quadrilatère est un losange,
ALORS ses diagonales ont le même milieu et sont perpendiculaires.
Propriété n°2
SI un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et perpendiculaires,
ALORS c'est un losange.
Définition
Un carré est un quadrilatère qui est à la fois rectangle et losange.
Propriété n°1
SI un quadrilatère est un carré,
ALORS ses diagonales ont le même milieu, sont de même longueur et sont perpendiculaires.
Propriété n°2
SI un quadrilatère a ses diagonales de même milieu, de même longueur et perpendiculaires,
ALORS c'est un carré.
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Symétrie centrale
Propriétés
Dans une symétrie centrale l'image d'une droite est une droite parallèle.
Dans une symétrie centrale l'image d'un segment est un segment de même longueur.
Dans une symétrie centrale l'image d'un cercle est un cercle de même rayon.
Dans une symétrie centrale l'image d'un angle est un angle de même mesure.
Ces propriétés s'appellent les propriétés de conservation de la symétrie centrale.
On dit en effet qu'une symétrie centrale conserve les alignements, les longueurs, les angles, les aires...
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Angles et parallélisme
Ces propriétés vues en Cinquième peuvent être utilisées pour montrer des égalités de mesures d'angles :
Propriété n°1
SI deux droites coupées par une sécante sont parallèles,
ALORS elles forment des angles alternes-internes de même mesure.
Propriété n°2
SI deux droites coupées par une sécante sont parallèles,
ALORS elles forment des angles alternes-externes de même mesure.
Propriété n°3
SI deux droites coupées par une sécante sont parallèles,
ALORS elles forment des angles correspondants de même mesure.
Les propriétés réciproques associées peuvent être utilisées pour montrer que deux droites sont parallèles :
Propriété n°1
SI deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure,
ALORS elles sont parallèles.
Propriété n°2
SI deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-externes de même mesure,
ALORS elles sont parallèles.
Propriété n°3
SI deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants de même mesure,
ALORS elles sont parallèles.
Dans le cas où la sécante est perpendiculaire aux droites, on retrouve le cas particulier vu en Sixième.
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Angles d'un triangle
Propriété
La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.
Cette propriété vue en Cinquième permet d'autres conclusions concernant les triangles particuliers :
_ pour le triangle rectangle on en déduit que la somme des mesures des angles aigus est égale à 90°.
_ pour le triangle équilatéral on en déduit chaque angle mesure 60°, ce qui permet de compléter ce qui est vu en Sixième.
Propriété
Les angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires.
Ce qui peut s'énoncer sous la forme de deux propriétés réciproques :
Propriété n°1
SI un triangle est rectangle,
ALORS ses angles aigus sont complémentaires.
Propriété n°2
SI un triangle a deux angles complémentaires,
ALORS il est rectangle.
Propriété n°1
SI un triangle est équilatéral,
ALORS ses trois angles mesurent 60°.
Propriété n°2
SI les trois angles d'un triangle mesurent 60° (deux suffisent),
ALORS il est équilatéral.
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Parallélogramme
En Cinquième on donne la définition et les propriétés du parallélogramme (issues de la symétrie centrale) :
Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles.
Propriété n°1
SI un quadrilatère est un parallélogramme,
ALORS ses diagonales ont le même milieu.
Propriété n°2
SI un quadrilatère est un parallélogramme,
ALORS ses côtés opposés sont de même longueur.
Propriété n°3
SI un quadrilatère est un parallélogramme,
ALORS ses angles opposés sont de même mesure.
Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, on peut soit utiliser la définition soit utiliser l'une de ces propriétés réciproques :
Propriété n°1
SI un quadrilatère a ses diagonales de même milieu,
ALORS c'est un parallélogramme.
Propriété n°2
SI un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur,
ALORS c'est un parallélogramme.
Propriété n°3
SI un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même longueur,
ALORS c'est un parallélogramme.
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Parallélogramme → Rectangle / Losange
En Cinquième le rectangle et le losange (ainsi que le carré) sont abordés comme des parallélogrammes particuliers.
Il ont donc les propriétés du parallélogramme, ainsi que des propriétés supplémentaires (concernant les diagonales et les axes de symétrie).
———
Voyons les propriétés réciproques, bien plus utiles pour les démonstrations !
Pour démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle :
_ soit on utilise la définition du rectangle
_ soit on commence par démontrer que c'est un parallélogramme puis on utilise l'une des propriétés réciproques suivantes
Propriété n°1
SI un parallélogramme a ses diagonales de même longueur,
ALORS c'est un rectangle.
Propriété n°2
SI un parallélogramme a un angle droit,
ALORS c'est un rectangle.
Pour démontrer qu'un quadrilatère est un losange :
_ soit on utilise la définition du losange
_ soit on commence par démontrer que c'est un parallélogramme puis on utilise l'une des propriétés réciproques suivantes
Propriété n°1
SI un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires,
ALORS c'est un losange.
Propriété n°2
SI un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur,
ALORS c'est un losange.
Pour démontrer qu'un quadrilatère est un carré on montre que c'est à la fois un rectangle et un losange (par définition).
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Tangente à un cercle
La notion de tangente à un cercle est très intuitive. On peut s'en servir dès la Sixième :
Définition
La tangente à un cercle en un point est la droite perpendiculaire au rayon en ce point.
Cependant c'est en Quatrième que l'on démontre, avec la notion de distance d'un point à une droite, que cette droite qui "frôle le cercle" n'a qu'un unique point commun avec ce cercle (théoriquement !).
La notion de tangente est peu travaillée pour elle-même, et les démonstrations utilisant cette notion font appel à d'autres thèmes (droites parallèles, bissectrice d'un angle, triangles rectangles...).
Pour cette raison il n'est proposé ici qu'une seule petite démonstration concernant cette notion (et rien concernant la notion de distance d'un point à une droite).
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Bissectrice d'un angle
La définition et deux propriétés réciproques sont à savoir :
Définition
La bissectrice d'un angle est la (demi-)droite qui le partage en deux angles de même mesure.
Propriété n°1
SI un point appartient à la bissectrice d'un angle,
ALORS il est équidistant des côtés de cet angle.
Propriété n°2
SI un point est équidistant des côtés d'un angle,
ALORS il appartient à la bissectrice de cet angle.
Si la définition est vue dès la Sixième, en revanche les propriétés sont du programme de Quatrième.
En effet la "distance" dont il est ici question est celle d'un point à une droite.
Attention d'ailleurs : dire "est équidistant des extrémités de l'angle" n'a pas de sens !
A part cela ces propriétés ressemblent beaucoup à celles sur la médiatrice d'un segment.
La définition et la propriété n°2 peuvent pemettre de démontrer qu'une (demi-)droite est la bissectrice d'un angle.
La définition et la propriété n°1 donnent des informations sur une bissectrice d'un angle.
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Droite des milieux
Les deux propriétés suivantes se ressemblent car elles font référence à la même droite.
Cependant elles sont bien différentes : ni les conditions d'applications ni les conclusions ne sont les mêmes.
Ainsi la première peut être utilisée pour montrer que deux droites sont parallèles.
Alors que la seconde peut être utilisée pour montrer qu'un point est le milieu d'un segment.
Propriété n°1
SI une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle,
ALORS elle est parallèle au troisième côté.
Propriété n°2
SI une droite passe par le milieu d'un côté d'un triangle en étant parallèle à un second côté,
ALORS elle coupe le troisième côté en son milieu.
Il y a aussi cette propriété supplémentaire qui fait référence à des longueurs :
Propriété n°3
SI un segment relie les milieux de deux côtés d'un triangle,
ALORS il mesure la moitié de la longueur du troisième côté.
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Propriété de Thalès
La propriété de Thalès est vue en Quatrième ; elle généralise la droite des milieux.
C'est un cas particulier du théorème de Thalès qui est lui étudié en Troisième (avec sa réciproque).
Propriété
On considère un triangle ABC, M un point de [AB] et N un point de [AC].
SI (MN)//(BC),
ALORS les longueurs respectives des côtés des triangles sont proportionnelles :
Dans la pratique il faut savoir utiliser cette propriété pour trouver une longueur manquante.
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Droites remarquables
Il y a quatre types de droites remarquables à ne pas confondre :
Définition
Les médiatrices d'un triangle sont les médiatrices de ses côtés.
Propriété
Les médiatrices d'un triangle sont concourantes ; leur point commun est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Définition
Les bissectrices d'un triangle sont les bissectrices de ses angles.
Propriété
Les bissectrices d'un triangle sont concourantes ; leur point commun est le centre du cercle inscrit au triangle.
Définition
Les hauteurs d'un triangle sont les droites passant par un sommet et perpendiculaires au côté opposé.
Propriété
Les hauteurs d'un triangle sont concourantes ; leur point commun est l'orthocentre du triangle.
Définition
Les médianes d'un triangle sont les droites passant par un sommet et le milieu du côté opposé.
Propriété
Les médianes d'un triangle sont concourantes ; leur point commun est le centre de gravité du triangle, il est situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet.
On peut faire des remarques supplémentaires concernant les triangles particuliers.
La propriété du cercle circonscrit au triangle rectangle, très importante, est vue dans un autre thème.
Dans un triangle rectangle, l'othocentre est confondu avec le sommet de l'angle droit.
Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base est confondue avec la médiane, la hauteur et la bissectrice issues du sommet principal.
Dans un triangle équilatéral, les médiatrices, les médianes, les hauteurs et les bissectrices sont confondues.
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Cercle circonscrit au triangle rectangle
Cette propriété et sa réciproque sont vues en quatrième.
La propriété n°2 peut permettre de démontrer qu'un triangle est rectangle ; au départ on ne sait pas s'il l'est, et on ne doit donc pas parler "d'hypoténuse" dans la première partie de la phrase.
Propriété n°1
SI un triangle est rectangle,
ALORS son cercle circonscrit a pour diamètre l'hypoténuse.
Propriété n°2
SI un côté d'un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit,
ALORS ce triangle est rectangle (et ce côté est l'hypoténuse).
Ces propriétés sont associées à des égalités de longueurs.
En effet dire que le cercle a pour diamètre l'hypoténuse revient à dire que la médiane issue du sommet de l'angle droit est un rayon.
Ainsi, si ABC est rectangle en A et O milieu de [BC] alors on a OA=OB=OC=BC÷2 (et réciproquement).
D'où cette reformulation possible :
Propriété n°1
SI un triangle est rectangle,
ALORS sa médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse.
Propriété n°2
SI une médiane d'un triangle mesure la moitié du côté correspondant,
ALORS ce triangle est rectangle (et ce côté est l'hypoténuse).
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Théorème de Pythagore et réciproque
Ce théorème et sa réciproque sont vues en Quatrième.
Le théorème peut permettre un calcul de longueur.
Sa réciproque peut permettre de démontrer qu'un triangle est rectangle ; au départ on ne sait pas s'il l'est, et on ne doit donc pas parler "d'hypoténuse" dans la première partie de la phrase.
Théorème
SI un triangle est rectangle,
ALORS le carré de (la longueur de) l'hypoténuse est égal à la somme des carrés (des longueurs) des côtés perpendiculaires.
Réciproque du théorème
SI le carré (de la longueur) d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés (des longueurs) des deux autres côtés,
ALORS ce triangle est rectangle.
Dans la pratique on ne récite pas ces longues phrases lors des démonstrations.
On se contente de dire "d'après le théorème de Pythagore" ou "d'après la réciproque du théorème de Pythagore" au cours de la rédaction.
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Cosinus
On considère un angle aigu d'un triangle rectangle.
Les côtés de l'angle droit sont définis comme "adjacent" ou "opposé" à cet angle.
On a alors la relation :
cosinus de l'angle = longueur du côté adjacent / longueur de l'hypoténuse
L'utilisation de cette formule peut permettre, dans un triangle rectangle, de calculer une longueur de côté ou une mesure d'angle.
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Translation
Propriétés
Dans une translation l'image d'une droite est une droite parallèle.
Dans une translation l'image d'un segment est un segment de même longueur.
Dans une translation l'image d'un cercle est un cercle de même rayon.
Dans une translation l'image d'un angle est un angle de même mesure.
Ces propriétés s'appellent les propriétés de conservation de la translation.
On dit en effet qu'une translation conserve les alignements, les longueurs, les angles, les aires...
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Théorème de Thalès et réciproque
Ce théorème et sa réciproque sont vues en Troisième.
Le théorème peut permettre un calcul de longueur.
Sa réciproque peut permettre de démontrer que deux droites sont parallèles.
Soient (AA') et (BB') deux droites sécantes en O.
Théorème
SI (AB)//(A'B')
| ALORS | OA | | OB | | AB | . |
| —— | = | —— | = | —— |
| OA' | | OB' | | A'B' |
Réciproque du théorème
| SI | OA | | OB | et SI les points O, A, B sont alignés dans le même ordre que O', A', B' |
| —— | = | —— |
| OA' | | OB' |
ALORS (AB)//(A'B').
Dans la pratique on peut dire "d'après le théorème de Thalès" ou "d'après la réciproque du théorème de Thalès" au cours de la rédaction.
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Sinus
On considère un angle aigu d'un triangle rectangle.
Les côtés de l'angle droit sont définis comme "adjacent" ou "opposé" à cet angle.
On a alors la relation :
sinus de l'angle = longueur du côté opposé / longueur de l'hypoténuse
L'utilisation de cette formule peut permettre, dans un triangle rectangle, de calculer une longueur de côté ou une mesure d'angle.
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Tangente
On considère un angle aigu d'un triangle rectangle.
Les côtés de l'angle droit sont définis comme "adjacent" ou "opposé" à cet angle.
On a alors la relation :
tangente de l'angle = longueur du côté opposé / longueur du côté adjacent
L'utilisation de cette formule peut permettre, dans un triangle rectangle, de calculer une longueur de côté ou une mesure d'angle.
Il est possible de retenir les trois relations trigonométriques à l'aide du mot mnémotechnique :
"SOHCAHTOA" (ou "CAHSOHTOA") !
Il se traduit par :
Sin=Opp/Hyp Cos=Adj/Hyp Tan=Opp/Adj
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Angle inscrit
Propriété n°1
Dans un cercle la mesure d'un angle inscrit est égale à la moitié de celle de l'angle au centre interceptant le même arc.
Propriété n°2
Dans un cercle deux angles inscrits interceptant le même arc sont de même mesure.
Ces propriétés sont vues en Troisième à l'occasion du travail sur les "angles inscrits" d'un cercle.
Dans le cas particulier où l'angle au centre est plat, on retrouve la propriété du cercle circonscrit au triangle rectangle (vue en Quatrième).
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Rotation
Propriétés
Dans une rotation l'image d'une droite est une droite (quelconque).
Dans une rotation l'image d'un segment est un segment de même longueur.
Dans une rotation l'image d'un cercle est un cercle de même rayon.
Dans une rotation l'image d'un angle est un angle de même mesure.
Ces propriétés s'appellent les propriétés de conservation de la rotation.
On dit en effet qu'une rotation conserve les alignements, les longueurs, les angles, les aires...
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